Question

如下圖，已知△OFQ的面積為S，且·=1，

(1)若S的范圍為<S<2,求向量與的夾角θ的取值范圍；
(2)設||=c(c≥2),S=c,若以O為中心，F為焦點的橢圓經過點Q，當||取得最小值時，求此橢圓的方程.

Answer 1

(1) <θ<arctan4.
(2) 橢圓方程為.

本題考查向量的基本知識、三角知識及最值問題在解析幾何中的綜合運用.
(1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.
又||·||·sin(180°－θ)=S,
∴tanθ=2S,S=.
又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,
∴<θ<arctan4.
(2)以所在的直線為x軸，以的過O點的垂線為y軸建立直角坐標系(如下圖).

∴O(0,0),F(c,0),Q(x₀,y₀).
設橢圓方程為+=1.
又·=1，S=c,
∴(c,0)·(x₀－c,y₀)="1.                                                                                            " ①
·c·|y₀|=c.                                                                                                 ②
由①得c(x₀－c)=1x₀=c+.
由②得|y₀|=.
∴||==.
∵c≥2,
∴當c=2時，||_min==,
此時Q(，±)，F(2，0).
代入橢圓方程得
∴a²=10,b²=6.
∴橢圓方程為.
評析:新知識(向量)在幾何中的應用是值得關注的趨勢.