Question

已知點A（2，0），B（2，1），C（0，1），動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，其中O為坐標原點，k為參數．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（Ⅱ）如果動點M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y），利用題目中向量的坐標運算，求得向量的坐標后代入題中向量條件，化簡即得軌跡方程，為了說明它是什么類型，必須對參數k進行討論；
（2）依據圓錐曲線離心率的范圍得曲線是橢圓，依據橢圓形式求得離心率的表達式，建立不等關系求實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），
則

OM

=(x，y)，

AM

=(x-2，y)，

CM

=(x，y-1)，

BM

=(x-2，y-1)，
d=|y-1|．（2分）
代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)
得（1-k²）x²+2（k-1）x+y²=0為所求軌跡方程（3分）
當k=1時，得y=0，軌跡為一條直線；（4分）
當k≠1時，得(x-1)2+

y2

1-k

=1
若k=0，則點M的軌跡為圓；（5分）
若k＞1，則點M的軌跡為雙曲線；（6分）
若0＜k＜1或k＜0，則點M的軌跡為橢圓（7分）
（Ⅱ）因為

3

3

≤e≤

2

2

，
所以方程表示橢圓（9分）
對于方程(x-1)2+

y2

1-k

=1
①當0＜k＜1時，a²=1，b²=1-k，c²=a²-b²=1-（1-k）=k
此時e2=

c2

a2

=k，而

3

3

≤e≤

2

2

，
所以

1

3

≤k≤

1

2

.（11分）
②當k＜0時，a²=1-k，b²=1，c²=-k
所以e2=

k

k-1

，即

1

3

≤

k

k-1

≤

1

2

．所以-1≤k≤-

1

2

.（13分）
所以k∈[-1，-

1

2

]∪[

1

3

，

1

2

].（14分）

點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的坐標和數量積運算、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價轉化能力．