Question

【題目】已知函數只有一個零點，且這個零點為正數，則實數的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先運用導數得出函數的單調性和單調區間，再結合函數圖象求出a的取值范圍．

解：令＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，

其中a＞0，所以函數的單調性和單調區間如下：

x∈（﹣∞，﹣a），f（x）遞增；x∈（﹣a，a），f（x）遞減；x∈（a，+∞），f（x）遞增．

因此，f（x）在x＝﹣a處取得極大值，在x＝a處取得極小值，

結合函數圖象，要使f（x）只有一個零點x0，且x0＞0，只需滿足：

f（x）極大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，

整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），

故答案為：（1，2）