【題目】《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du)；陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵
中，
，
.給出下列四個結論：
①四棱錐
為陽馬；
②直線
與平面
所成角為
；
③當
時，異面直線
與
所成的角的余弦值為
；
④當三棱錐
體積最大時，四棱錐
的外接球的表面積為
.
其中，所有正確結論的序號是______.
【答案】①③④
【解析】
對于①，由塹堵
的性質得
，則可證
平面
，即四棱錐
為陽馬；
對于②，可知
為直線
與平面所成角，通過分析②不正確；
對于③，可知
為異面直線
與
所成的角(或補角)，由余弦定理得其余弦值為
；
對于④，三棱錐
體積為
，由基本不等式可知
時，
最大，故可將三棱柱補成長方體
，則長方體的外接球與四棱錐
的外接球為同一個球，從而可求出四棱錐的外接球的表面積.
對于①，因為在三棱柱中，
平面
，∴，又
，∴平面，即四棱錐為陽馬；故①正確；
對于②，由①可知平面，∴為直線與平面所成角，
假如
，則
為等腰直角三角形，所以
，這與在
中
矛盾；故②不正確；
對于③，當
時，
，
，
，
，
∵
，∴為異面直線與所成的角(或補角)，
在
中，
，故③正確；
對于④，三棱錐體積為
，
當且僅當時，取“
”，現將三棱柱補成長方體，
則長方體的外接球與四棱錐的外接球為同一個球，
所以球的直徑
，所以
，故④正確.
故答案為：①③④
備戰中考寒假系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國全面二孩政策已于2016年1月1日起正式實施．國家統計局發布的數據顯示，從2012年到2017年，中國的人口自然增長率變化始終不大，在5‰上下波動（如圖）．
為了了解年齡介于24歲至50歲之間的適孕夫妻對生育二孩的態度如何，統計部門按年齡分為9組，每組選取150對夫妻進行調查統計有生育二孩意愿的夫妻數，得到下表：
年齡區間 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
有意愿數 | 80 | 81 | 87 | 86 | 84 | 83 | 83 | 70 | 66 |
（1）設每個年齡區間的中間值為
，有意愿數為
，求樣本數據的線性回歸直線方程，并求該模型的相關系數
（結果保留兩位小數）；
（2）從
，
，
，
，
這五個年齡段中各選出一對夫妻（能代表該年齡段超過半數夫妻的意愿）進一步調研，再從這5對夫妻中任選2對夫妻．求其中恰有一對不愿意生育二孩的夫妻的概率．
（參考數據和公式：
，
，
，
，
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓C：
的左、右頂點分別為
右焦點為
，右準線l的方程為
，過焦點F的直線與橢圓C相交于點A，B（不與點重合）.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當直線AB的傾斜角為45°時，求弦AB的長；
（3）設直線
交l于點M，求證：B，
，M三點共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋物線
的焦點為F ，已知點A ，B 為拋物線上的兩個動點，且滿足
.過弦AB 的中點M 作拋物線準線的垂線MN ，垂足為N，則
的最大值為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，點
分別為橢圓
的左右頂點和右焦點，過點
的直線交橢圓
于點
.
（1）若
，點與橢圓左準線的距離為
，求橢圓的方程；
（2）已知直線
的斜率是直線
斜率的
倍.
①求橢圓的離心率；
②若橢圓的焦距為，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．
（1）求證：BD⊥AE
（2）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小.
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