Question

【題目】如圖，已知橢圓C：的左、右頂點分別為右焦點為，右準線l的方程為，過焦點F的直線與橢圓C相交于點A，B（不與點重合）.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當直線AB的傾斜角為45°時，求弦AB的長；

（3）設直線交l于點M，求證：B，，M三點共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）由題意結合橢圓性質可得、，即可得解；

（2）由題意直線，設，，聯立方程組可得，，再利用弦長公式即可得解；

（3）設直線，，，易得，轉化結論為證明成立，聯立方程組即可得，，進而可得，即可得證.

（1）設橢圓C的焦距為2c．由題意得．

又右準線l的方程為，所以，

所以，，

所以橢圓的標準方程為，

（2）設，，

因為直線的傾斜角為且過點，

所以直線，

聯立，消去得，，

所以，，

所以；

（3）由題意可得，，

因為直線AB的斜率不為0，

所以設直線，，，

則直線，令，得，所以；

要證，，三點共線，只需證，

即證，即證；

聯立，消去x得，，

所以，，

所以，

所以，，三點共線．