Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f（x）＝a－x－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a＝1時，證明：（x－1）（lnx－f（x））≥0．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，
令，
（1）當時，，此時，故在上為減函數(shù)；
（2）當時，方程有兩根 且                                          
，此時當時，，當時
，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；
所以當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為。┈┈┈┈┈6分
（Ⅱ）當時，，，
由（Ⅰ）知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以為的最小值，即，所以，故當時，，
∴，                                        
當時，，
令，則
，所以在為增函數(shù)，可得出，又因，∴，故當時，，
綜上所述，當時，。┈┈┈┈┈12分

略