Question

【題目】年月日，小劉從各個渠道融資萬元，在某大學投資一個咖啡店，年月日正式開業，已知開業第一年運營成本為萬元，由于工人工資不斷增加及設備維修等，以后每年成本增加萬元，若每年的銷售額為萬元，用數列表示前年的純收入．（注：純收入前年的總收入前年的總支出投資額）

（1）試求年平均利潤最大時的年份（年份取正整數）并求出最大值．

（2）若前年的收入達到最大值時，小劉計劃用前年總收入的對咖啡店進行重新裝修，請問：小劉最早從哪一年對咖啡店進行重新裝修（年份取整數）？并求小劉計劃裝修的費用．

Answer 1

【答案】（1）到年或年，年平均利潤最大，最大值為萬元；（2）小劉最早從年對咖啡店進行重新裝修，計劃裝修費用為萬元．

【解析】

（1）每年的運營成本構成一個等差數列，每年的銷售額是一個常數列，根據題意，列出等式年平均利潤為，之后應用基本不等式，結合求得結果；

（2）由（1）知，利用二次函數的性質以及的條件，得到當或時，取得最大值，進而得到結果.

（1）由條件可知，每年的運營成本構成首項為，公差為的等差數列，

，

則年平均利潤為，

由，當且僅當，即時取等號．

但，且或時，．

此時，取最大值．

到年或年，年平均利潤最大，最大值為萬元；

（2）由（1）可得，

當或時，取得最大值．

（萬元）

故小劉最早從年對咖啡店進行重新裝修，計劃裝修費用為萬元．