Question

如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點．現將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A-DC-B．

（1）試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比．

Answer 1

（1）如圖所示，∵E、F分別為AC、BC的中點，
∴AB∥EF．
∵AB?面DEF，EF?面DEF，
∴AB∥面DEF．
（2）以DA，DB，DC為棱補成一個長方體，則四面體A-DBC的外接球即為長方體的外接球．
設球的半徑為R，則a²+a²+3a²=（2R）²，
∴R=

5

2

a．
于是球的體積V₁=

4

3

πR3=

5 5

6

πa3．
又V_A-BCD=

1

3

•S_△BCD•AD=

3

6

a3，V_E-DFC=

1

3

•S_△DFC•

1

2

AD=

3

24

a3，
四棱錐D-ABFE的體積V₂=V_A-BCD-V_E-DFC=

3

8

a3．
∴四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比為

20 15

9

π