Question

二次函數y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）的定義域為[-1，4]，求f（x）的值域；
（3）若函數f（x）的定義域為[a，a+1]，f（x）的值域為[12，22]，求a的值．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數的值域

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）根據題意，得出f（x）的對稱軸，頂點坐標，從而求出解析式；
（2）由f（x）的解析式求出在[-1，4]上的最值，即得值域；
（3）討論a的取值，得出f（x）在[a，a+1]上的單調性，從而求出f（x）在[a，a+1]上的值域，得出a的值．

解答： 解：（1）根據題意，函數f（x）的對稱軸是x=

0+2

2

=1，
∴頂點是（1，4）；
∴設f（x）=a（x-1）²+4，
當x=0時，f（0）=a+4=6，
∴a=2；
∴f（x）=2（x-1）²+4=2x²-4x+6；
（2）∵f（x）的對稱軸是x=1，
∴x=1時，f（x）_min=f（1）=4；
x=4時，f（x）_max=f（4）=22；
∴f（x）的值域是[4，22]；
（3）①當a≥1時，f（x）在[a，a+1]上是增函數，
∴

f(a)=6 f(a+1)=22

，
即

2(a-1)2+4=6 2a2+4=22

，
解得a=3；
②當a≤0時，f（x）在[a，a+1]上是減函數，
∴

f(a)=22 f(a+1)=6

，
即

2(a-1)2+4=22 2a2+4=6

，
解得a=-2；
③當0＜a＜1時，f（x）在[a，a+1]上取得最小值
f（x）_min=f（1）=4，不合題意；
綜上，a=3或a=-2．

點評：本題考查了求函數的解析式與值域的問題，解題時可以利用函數的圖象與性質求出解析式，根據函數的單調性求出值域，是中檔題．