Question

若角θ的終邊過點(diǎn)P（-4a，3a）（a≠0），
（Ⅰ）求sinθ+cosθ的值
（Ⅱ）試判斷cos（sinθ）•sin（cosθ）的符號(hào)．

Answer 1

考點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值的符號(hào)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由題意可得 x=-4a，y=3a，r=5|a|，再分類討論，利用任意角的三角函數(shù)的定義進(jìn)行運(yùn)算，可得答案；
（Ⅱ）分類討論，確定sinθ、cosθ的取值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵角θ的終邊過點(diǎn)P（-4a，3a）（a≠0），
∴x=-4a，y=3a，r=5|a|．
當(dāng)a＞0時(shí)，r=5a，sinθ+cosθ=

1

5

．
當(dāng)a＜0時(shí)，r=-5a，sinθ+cosθ=-

1

5

． 
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，sinθ=

3

5

∈（0，

π

2

），cosθ=-

4

5

∈（-

π

2

，0），
則cos（sinθ）•sin（cosθ）=cos

3

5

•sin（-

4

5

）＜0；
當(dāng)a＜0時(shí)，sinθ=-

3

5

∈（-

π

2

，0），cosθ=-

4

5

∈（0，

π

2

），
則cos（sinθ）•sin（cosθ）=cos（-

3

5

）•sin

4

5

＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．求出r值，是解題的關(guān)鍵．