Question

【題目】如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，

.

（1）證明： ；

（2）若直線與平面所成角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點為，連接，由正三角形性質得，由矩形的性質得，根據線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結論；（2）的方向為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角的余弦公式可得結果.

試題解析：（1）取的中點為，連接， 為等邊三角形， .底面中，可得四邊形為矩形， ， 平面， 平面.又，所以.

（2）由面面知， 平面， 兩兩垂直，直線與平面所成角為，即，由，知，得.分別以的方向為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，則 ， ， 設平面的法向量為.，則，設平面的法向量為， ，則， ,由圖可知二面角的余弦值.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.