Question

【題目】已知圓的圓心為，直線.

(1)求圓心的軌跡方程；

(2)若，求直線被圓所截得弦長的最大值；

(3)若直線是圓心下方的切線，當在上變化時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由圓的方程，可得圓的圓心坐標為，即可得到圓心的軌跡方程；

（2）將圓的方程轉化為圓的標準方程，得到圓心坐標和半徑，再求得圓心到直線的距離，由圓的弦長公式，得到弦長的函數關系式，即可求解弦長的最大值；

（3）由直線與圓相切，建立與的關系，，在由點在直線的上方，去掉絕對值，將轉化為二次函數求解即可.

試題解析：

（1）圓的圓心坐標為.

所以圓心的軌跡方程為.

(2)已知圓的標準方程是.

則圓心的坐標是，半徑為.

直線的方程化為：，則圓心到直線的距離是，

設直線被圓所截得弦長為，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系是：

，

∵，∴當時，的最大值為.

(3)因為直線與圓相切，則有.

即.

又點在直線上方，∴，即，

∴，∴.

∵，∴，

∴.