Question

如圖， 在矩形中，點分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。

Answer 1

(1)；（2）21/4.

本試題主要是考查了立體幾何中的二面角的求解以及折疊圖中的線段的長度問題。

（Ⅰ）解：取線段EF的中點H，連結A’H，因為=及H是EF的中點，所以A’HEF,
又因為平面A’EF平面BEF.如圖建立空間直角坐標系A-xyz,
則A’（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 
故=（-2，2，），=（6，0，0）.
設=（x,y,z）為平面A’FD的一個法向量，
       -2x+2y+z=0
所以    6x=0.
取，則。又平面BEF的一個法向量，
故。  所以二面角的余弦值為
（Ⅱ）解：設FM=X則M(4+X,0,0)，
因為翻折后，C與A重合，所以CM=A’M，
得X=21/4，
經檢驗，此時點N在線段BC上，所以FM=21/4。