Question

設函數f(x)=lnx－ax+－1.
(1) 當a=1時, 過原點的直線與函數f(x)的圖象相切于點P, 求點P的坐標;
(2) 當0＜a＜時, 求函數f(x)的單調區間；
(3) 當a=時, 設函數g(x)=x²－2bx－, 若對于x₁∈, [0, 1]使f(x₁)≥g(x₂)成立, 求實數b的取值范圍.（e是自然對數的底, e＜+1）.

Answer 1

(1) (2) 增區間為減區間為， (3)

試題分析：函數的定義域為，                 （2分）
（1）設點，當時，，則，，∴                  （3分）
解得，故點P 的坐標為                             （4分）
（2）
∵ ∴                                   （6分）
∴當，或時，當時，
故當時，函數的單調遞增區間為；
單調遞減區間為，                                  （8分）
（3）當時，由（Ⅱ）可知函數在上是減函數，在上為增函數，在上為減函數，且，
∵，又，∴，
∴，故函數在上的最小值為         （10分）
若對于，使 ≥成立在上的最小值不大于
在上的最小值（*）     （11分）
又，
①當時，在上為增函數，與（*）矛盾
②當時，，由及得，

③當時，在上為減函數，，
此時
綜上，的取值范圍是（14分）
點評：第一問函數曲線與某直線相切時，充分利用切點坐標與直線曲線的聯系尋求關系式，第二問求單調區間主要通過導數的正負分別求得單調增減區間，第三問首先將不等式問題轉化為函數最值問題，須認真分析清楚需要比較的是最大值還是最小值，這一點是容易出錯的地方