Question

【題目】過(guò)橢圓： 上一點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)，垂足為右焦點(diǎn)， 、分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).問(wèn)是否存在一個(gè)定圓與動(dòng)直線(xiàn)總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在

【解析】試題分析：（1）由得，解得， ，，結(jié)合，即可求橢圓的方程；（2）先求得直線(xiàn)的斜率不存在及斜率為零時(shí)圓的方程，由此可得兩圓所過(guò)公共點(diǎn)為原點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為代入橢圓方程消掉得的二次方程，設(shè)，由韋達(dá)定理、向量數(shù)量積可得的表達(dá)式，再根據(jù)線(xiàn)圓相切可得的關(guān)系式，代入上述表達(dá)式可求得，由此可得結(jié)論.

試題解析：（1）由題意得，所以， .由得，解得， ，

由，得， ，橢圓的方程為.

（2）假設(shè)存在這樣的圓.設(shè)， .

由已知，以為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，即，所以.

當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)， ， ，所以，又，解得，

不妨設(shè)， 或， ，即直線(xiàn)的方程為或，此時(shí)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，解消去得方程：

，因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓交于， 兩點(diǎn)，所以方程的判別式

，即，且， .

由，得 ，

所以 ，整理得（滿(mǎn)足）.

所以原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.綜上所述，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值，即存在定圓總與直線(xiàn)相切.