Question

已知數列為等差數列，其公差d不為0，和的等差中項為11，且，令，數列的前n項和為.
（1）求及；
（2）是否存在正整數m，n（1<m<n），使得成等比數列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：本題主要考查等差數列、等比數列的定義、通項公式、性質以及裂項相消法求和等數學知識，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，先利用等差中項的概念將和的等差中項為11，轉化為，與已知聯立，利用等差數列的通項公式展開，解方程組得出基本量和，從而求出等差數列的通項公式，將代入到中，利用裂項相消法求和；第二問，先假設存在m和n，利用已知看能不能求出m和n的值，利用第一問的結論，得出的值，由已知成等比數列，則，整理得到關于m，n的方程，通過解方程得出m和n的值.
試題解析：（Ⅰ）因為為等差數列，公差為，則由題意得

整理得
所以     3分
由
所以     6分
（Ⅱ）假設存在
由（Ⅰ）知，，所以
若成等比，則有
   8分
，（1）
因為，所以，     10分
因為，當時，代入（1）式，得；
綜上，當可以使成等比數列。     12分