Question

已知，，且，在和處有極值．

（1）求實數的值；

（2）若，判斷在區間內的單調性．

 

Answer 1

(1);(2)當時，在區間內的單調遞增；當時，在區間內的單調遞增，在區間內的單調遞減；當時，在區間內的單調遞減；當時，在區間內的單調遞減，在區間內的單調遞增；當，在區間內的單調遞增．

【解析】

試題分析：（1）可導函數在點處取得極值的充要條件是，且在左側與右側的符號不同；（2）若在內有極值，那么在內絕不是單調函數，即在某區間上是單調遞增或單調遞減的函數沒有極值；（3）函數的最值是整體概念，而函數的極值是局部概念，極大值和極小值沒有必然的大小關系；(4)利用函數的單調性與導數的關系，若可導函數在指定的區間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：【解析】
（1）由，得，∴，即，∴.

∴， 從而． 3分

∵在和處有極值，

∴，， 5分

解得：，， 7分

經檢驗：，滿足題意． 8分

（2）由（1），，．

令，得或；令，得．

∴在，上單調遞增，在上單調遞減． 9分

若，即時，在區間內的單調遞增； 10分

若，即時，在區間內的單調遞增，在區間內

的單調遞減； 11分

若，即時，在區間內的單調遞減； 12分

若，即時，在區間內的單調遞減，在區間內的單調遞增

若，在區間內的單調遞增． 14分

考點：(1)利用函數的極值求參數；（2）利用導數求函數的單調區間.