Question

已知是橢圓的左、右焦點，是橢圓上位于第一象限內的一點，點也在橢圓上，且滿足（是坐標原點），，若橢圓的離心率為.
（1）若的面積等于，求橢圓的方程；
（2）設直線與（1）中的橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值.

Answer 1

（1）   （2）

試題分析：（1）利用離心率溝通和及的關系，再由三角形面積得到另一個，，的關系，
可求得橢圓方程為：．
（3）由（2）可知A（-2,0）．設B點的坐標為（x_1,,y₁）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),
于是A,B兩點的坐標滿足方程組
由方程組消去y并整理，得
由得
設線段AB是中點為M，則M的坐標為
以下分兩種情況：
①當k=0時，點B的坐標為（2,0）．線段AB的垂直平分線為y軸，于是
．
②當K時，線段AB的垂直平分線方程為
令x=0，解得
由

整理得．
經驗證，都符合題意，故．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的過程一般是把直線與圓錐曲線的方程聯立，利用韋達定理和判別式來作為解題的關鍵．