Question

已知函數f(x)=log2(2x+1)．
（1）用定義證明：函數f（x）在（-∞，+∞）內單調遞增；
（2）記f^-1（x）為函數f（x）的反函數，求函數m=f^-1（x）-f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）用單調性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位．
（2）先求得反函數f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），構造函數m=f^-1（x）-f（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）=log2

2x-1

2x+1

=log2(1-

2

2x+1

)，利用復合函數的單調性求得函數的值域．

解答：證明：（1）任取x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2

2x1+1

2x2+1

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即函數f（x）在（-∞，+∞）內單調遞增.5 分
（不用定義證明本小題得0分）
（2）∵f-1(x)=log2(2x-1) (x＞0)，（3分）
∴m=f^-1（x）-f（x）=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2

2x-1

2x+1

=log2(1-

2

2x+1

)，（2分）
當1≤x≤2時，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

，
∴m的取值范圍是[ log2(

1

3

)，  log2(

3

5

) ]．（3分）

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，主要涉及了用單調性的定義證明函數的單調性以及構造函數研究函數的性質等問題，還考查了轉化思想和構造轉化函數的能力．