Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，，F為棱PA上一點，且，M為AD的中點，四棱錐的體積為．

（1）若，N是PB的中點，求證：平面平面PCD；

（2）是否存在，使得平面FMB與平面PAD所成的二面角余弦的絕對值為．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）存在，使得平面FMB與平面PAD所成的二面角余弦的絕對值為

【解析】

（1）由已知有，,即可證明平面PCD；

（2）建立以M為原點，MA為x軸，ME為y軸，MP為z軸建立空間直角坐標系，則可得FMN的法向量為，取面PAD的法向量，由向量的數量積公式計算可得解.

解：（1）因為，所以F是AP的中點，又因為N是PB的中點，所以，由四邊形ABCD是矩形，得，故，

；

（2）連接PM，過M作交BC于E，由是等邊三角形，得，，以M為原點，MA為x軸，ME為y軸，MP為z軸建立空間直角坐標系，

假設存在，滿足題意，設，，則，，，，，，則，

設面FMN的法向量為，所以，

取，得，取面PAD的法向量，

由題知：，解得，

所以，存在，使得平面FMB與平面PAD所成的二面角余弦的絕對值為