Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數，為常數）．

（）若函數，在區間上單調遞減，求的取值范圍．

（）當時，判斷函數在上是否有零點，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）有

【解析】分析：（1）先求導數，再根據導函數在區間上恒非正，轉化為求導函數最大值，利用二次求導得導函數單調性，即得導函數最大值，可得的取值范圍．（2）先分離變量得，再利用導數研究不等式是否恒成立，結合導數以及零點存在定理可得不等式恒成立.

詳解：解：（）由得，

∴，

即，

∴，

∴，；

∴，

∴在上單調遞減，

又在上單調遞減；

∴，

∴，

即實數的取值范圍是．

（）假設函數在區間上有零點，即存在，使得，

即，

記．

①若，則，即，

由于，有，

即證在上恒成立，

令，，

則，，

當時，，

當時，，

∴當時，單調遞減，

當時，單調遞增．

而，，，

∴在上存在唯一的實數，使得，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

而，，

∴在上恒成立，即恒成立，

②若，則，即，

由于，有，即證在恒成立，

令，則，，

當，，單調遞減；

當，，單調遞增，

而，，

∴在上存在唯一的實數，使得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

又，，

故在上成立，即成立，

綜上所述，當時，函數在區間上有零點．