Question

【題目】已知函數g（x）=ax﹣ ﹣5lnx，其中a∈R．
（1）若g（x）在其定義域內為增函數，求正實數a的取值范圍；
（2）設函數h（x）=x2﹣mx+4，當a=2時，若x1∈（0，1），x2∈[1，2]，總有g（x1）≥h（x2）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=ax﹣ ﹣5lnx，

∴g′（x）=a+ ﹣ = ，

若g′（x）＞0，可得ax2﹣5x+a＞0，在x＞0上成立，

∴a＞ = ，求出 的最大值即可，

∵ ≤ = （x=1時等號成立），

∴a ；

（2）解：當a=2時，可得，g（x）=2x﹣ ﹣5lnx，

h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣ ）2+4﹣ ，

x1∈（0，1），x2∈[1，2]，總有g（x1）≥h（x2）成立，

∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，

g′（x）= = ，令g′（x）=0，

解得x1= ，x2=2，

當0＜x＜ ，或x＞2時，g′（x）＞0，g（x）為增函數；

當 ＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）為減函數；

∵x1∈（0，1），

∴g（x）在x= 出取得極大值，也是最大值，

∴g（x）max=g（ ）=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3，

∵h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣ ）2+4﹣ ，

若m≤3，hmax（x）=h（2）=4﹣2m+4=8﹣2m，

∴5ln2﹣3≥8﹣2m，∴m≥ ，

∵ ＞3，故m不存在；

若m＞3時，hmax（x）=h（1）=5﹣m，

∴5ln2﹣3≥5﹣m，∴m≥8﹣5ln2，

實數m的取值范圍：m≥8﹣5ln2

【解析】（1）將函數為增函數，轉化為導函數大于等于0恒成立，分離出參數a，求出a的范圍；（2）對h（x）進行配方，討論其最值問題，根據題意x1∈（0，1），x2∈[1，2]，總有g（x1）≥h（x2）成立，只要要求g（x）max≥h（x）max ， 即可，從而求出m的范圍；
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．