Question

已知拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點為F₂，其準線與x軸交于點F₁，以F₁，F₂為焦點，離心率為

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的標準方程及其右準線的方程；
（2）用m表示P點的坐標；
（3）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，拋物線C₁方程可知，所以，橢圓C₂中c與a值可求，進而得出橢圓的標準方程及其右準線的方程．
（2）P點為拋物線與橢圓在第一象限的焦點，所以只要根據拋物線方程求出橢圓方程，再聯立，即可得出P點坐標．
（3）先假設存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續的自然數，由前一問可分別求出△PF₁F₂的三邊長，讓三邊成公差為1得等差數列，求m的值，若能求出，則存在，若不能求出，則不存在．

解答：解（1）∵c₁：y²=4mx的右焦點F₂（m，0）∴橢圓的半焦距c=m，
又e=

1

2

，∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長b=

3

m．
橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1當m=1時，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，右準線方程為：x=4
（2）由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

，解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)
（3）假設存在滿足條件的實數m，由（Ⅱ）知P(

2

3

m，

2 6

3

m)
∴|PF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1|=4m-|PF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∵

6m

3

-

5m

3

=

7m

3

-

6m

3

=1∴m=3，
故存在實數m使△PF₁F₂的邊長是連續的自然數．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，以及是否存在問題，做題時找準橢圓與拋物線的關系，認真解答．