Question

已知拋物線C₁：y²=x+7，圓C₂：x²+y²=5．
（1）求證拋物線與圓沒有公共點；
（2）過點P（a，0）作與x軸不垂直的直線l交C₁，C₂依次為A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求實數a的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）由

y2=x+7 x2+y2=5

得x²+x+2=0，由△=-7＜0，知拋物線與圓沒有公共點．
（2）由題意知AD與BC的中點相同，設l為y=k（x-a），由

y2=x+7 y=k(x-a)

，得ky²-y-（7+a）k=0，則

△=1+4k2(7+a)＞0 y1+y2= 1 k

，x1+x2=

1

k2

+2a，由

x2+y2=5 y=k(x-a)

得（1+k²）x²-2ak²x+a²k²-5=0，由此可求出實數a的變化范圍．

解答：解：（1）由

y2=x+7 x2+y2=5

得x²+x+2=0，
∵△=1-8=-7＜0，
∴拋物線與圓沒有公共點．
（2）由題意知AD與BC的中點相同，設l為y=k（x-a），
由

y2=x+7 y=k(x-a)

，得ky²-y-（7+a）k=0，
則

△=1+4k2(7+a)＞0 y1+y2= 1 k

，
∴x1+x2=

1

k2

+2a，
由

x2+y2=5 y=k(x-a)

得（1+k²）x²-2ak²x+a²k²-5=0，
則

△=-4a2k2+20k2+20＞0 x1+x2= 2ak2 1+k2

，
∴

1

k2

+2a=

2ak2

1+k2

，∴k2=-

1

1+2a

，
代入上述△中得-10＜a＜-

1

2

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．