Question

（本題滿分12分）如圖,在三棱柱中,側面底面,,,且為中點.

(I)證明:平面;
(II)求直線與平面所成角的正弦值;
(III)在上是否存在一點,使得平面,若不存在,說明理由;若存在,確定點的位置.

Answer 1

(I)證明見解析
(II)
(III) 存在這樣的點E,E為的中點

(1)因為側面底面,所以只需證明即可.
（2）可以以O為原點，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ_１所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，然后用向量的方法求解線面角的問題.
（3）在（2）的基礎上也可以用向量來求點E位置.也可以取BC的中點M，連接OM，取BC₁的中點E，連接ME，則OM//AB，ME//BB₁//AA₁，所以平面OMB//平面AA₁B，所以OE//平面.從而確定E為BC₁的中點.
(Ⅰ)證明:因為,且O為AC的中點,
所以 
又由題意可知,平面平面,交線為,且平面,
所以平面 
(Ⅱ)如圖,以O為原點,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

由題意可知,又 
所以得: 
則有: 
設平面的一個法向量為,則有
,令,得 
所以 
 
因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余,所以 
(Ⅲ)設 
即,得 
所以得 
令平面,得 , 
即得 
即存在這樣的點E,E為的中點