Question

（本題共10分）
將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中，，，

，現將三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如圖乙．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)

夾角此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構題中，不但利用題中的線面關系夾角平行、垂直、空間角等問題，也可以建立適當的坐標系借助與向量解決以上問題
（1）在平面內找兩條相交直線，再分別證明這兩條直線與已知直線垂直，即可利用線面垂直的判定定理得到得到線面垂直．
（2）利用題中的垂直關系作出二面角的平面角，再證明此角是所求角，然后放入三角形中利用解三角形的有關知識求解答案即可．
解：（1）設在的射影為，則平面，
， 又，平面   
，又，平面        ……………………4分
（2）由（1），又， 為中點
以為軸，為軸，過且與平行的直線為軸建系，則

設為平面的法向量，由，可得
易知為平面的法向量，
因為所求二面角是銳角，所以所求二面角的余弦值為。…………………10分