Question

【題目】在直角坐標系中，長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動，點為線段上的點，且滿足.記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點為曲線上的兩個動點，記，判斷是否存在常數使得點到直線的距離為定值？若存在，求出常數的值和這個定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；常數，定值

【解析】

（1）設出的坐標，利用以及，求得曲線的方程.

（2）當直線的斜率存在時，設出直線的方程，求得到直線的距離.聯立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數關系，結合以及為定值，求得的值.當直線的斜率不存在時，驗證.由此得到存在常數，且定值.

（1）解析：（1）設，，

由題可得

，解得

又，即，

消去得：

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為

設，

由可得：

由點到的距離為定值可得（為常數）即

得：

即

，

又

為定值時，，此時，且符合

當直線的斜率不存在時，設直線方程為

由題可得，時，，經檢驗，符合條件

綜上可知，存在常數，且定值