Question

已知的定義域為，且恒有等式對任意的實
數成立．
（Ⅰ）試求的解析式；
（Ⅱ）討論在上的單調性，并用單調性定義予以證明．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3
（Ⅱ）函數在R上為減函數，證明見解析。

本試題主要是考查了求解函數的解析式，以及函數單調性的證明。
（1）的定義域為，且恒有等式對任意的實數成立．，那么可以得到方程組，消元法得到結論。
（2）設出變量，運用定義法證明單調性。
解：
1、2f(x)+f(-x)+2^x=0   …………1
2f(-x)+f(x)+2^(-x)=0   …………2
1式X2－2式得：
3f(x)+2^(x+1)-2^(-x)=0
即：f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3
2、設x1<x2 可得：
f(x1)-f(x2)
=[2^(-x1)-2^(x1+1)]/3-[2^(-x2)-2^(x2+1)]/3
=[2^(-x1)-2^(-x2)]/3+[2^(x2+1)-2^(x1+1)]/3
因：x1<x2 所以有：-x1>-x2 ,x1+1<x2+1
所以：2^(-x1)>2^(-x2)
2^(x2+1)>2^(x1+1)
即：f(x1)-f(x2)>0
所以此函數在R上為減函數！