Question

設橢圓的左焦點為F，上頂點為A，直線AF的傾斜角為45°，
（1）求橢圓的離心率；
（2）設過點A且與AF垂直的直線與橢圓右準線的交點為B，過A、B、F三點的圓M恰好與直線3x-y+3=0相切，求橢圓的方程及圓M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線AF的傾斜角為45°可知b=c，進而根據a=求得a和c的關系，進而可得答案．
（2）依題意可得直線AB的方程為y=-x+c，右準線方程為x=2c，進而可求得B點坐標，依據AF⊥AB可知過A，B，F三點的圓的圓心坐標進而可得圓的半徑，根據過A，B，F三點的圓恰好與直線3x-y+3=0相切可知圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑，建立等式可求得b，進而求得a和c．橢圓和圓的方程可得．
解答：解：（1）∵直線AF的傾斜角為45°，
∴b=c，
∴a==c
∴e==
所以橢圓的離心率為；
（2）由（1）知，直線AB的方程為y=-x+c，右準線方程為x=2c，
可得B（2c，-c），
∵AF⊥AB，
∴過A，B，F三點的圓的圓心坐標為，
半徑，
∵過A，B，F三點的圓恰好與直線3x-y+3=0相切，
所以圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑r，即，
得c=1，
∴，所以橢圓的方程為．
圓M的方程為．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．注意圓錐曲線之間相交和相切的關系，根據這些關系找到解決問題的途徑．