Question

【題目】定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0，
（1）求f（1）和f（﹣1）的值；
（2）試判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）若x≥0時f（x）為增函數，求滿足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），

∴f（1）=0，

令x=y=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，

∴f（﹣1）=0

（2）解：令y=﹣1，則f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），

∴f（﹣x）=f（x）

∴f（x）是偶函數

（3）解：由式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0得式f（x+1）≤f（2﹣x），

由（2）函數是偶函數，

則不等式等價為f（|x+1|）≤f（|2﹣x|），

∵x≥0時f（x）為增函數，

∴不等式等價為|x+1|≤|2﹣x|，

平方得x2+2x+1≤x2﹣4x+4，

即6x≤3，即x≤ ，

即滿足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合為（﹣∞， ]

【解析】（1）利用賦值法即可求f（1）、f（﹣1）的值；（2）根據函數奇偶性的定義即可證明f（x）是偶函數；（3）根據函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化求解即可．