Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是側棱CC₁上一點，設MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若直線AM與平面ABC所成的角為

π

4

，求多面體ABM-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標原點，以射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出

BM

，

A1C

，利用

BM

•

A1C

=0，求h的值；
（2）直線AM與平面ABC所成的角為

π

4

，多面體ABM-A₁B₁C₁的體積，就是三棱柱的體積減去三棱錐M-ABC的體積，求解即可．

解答：解：（1）以A為坐標原點，以射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）（2分）

BM

=(-2，2，h)，

A1C

=(0，2，-4)（2分）
由BM⊥A₁C得，

BM

•

A1C

=0，即2×2-4h=0
解得h=1（2分）
（2）由題意知，平面ABC的一個法向量為

n

=(0，0，1)，

AM

=(0，2，h)（2分）
因為直線AM與平面ABC所成的角為

π

4

，所以

2

2

=

h

4+h2

解得h=2（2分）
三棱錐M-ABC的體積VM-ABC=

1

3

S△ABC•MC=

4

3

三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積V=S_△ABC•CC₁=8（2分）
所以多面體ABM-A₁B₁C₁的體積VABM-A1B1C1=8-

4

3

=

20

3

（2分）

點評：本題考查棱柱的結構特征，組合幾何體的面積、體積問題，直線與平面所成的角，考查轉化思想，計算能力，是中檔題．