Question

已知雙曲線的離心率等于2，且與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦點，
（1）求橢圓的離心率；   
（2）求此雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的性質，可得橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的a₁=5，b₁=3，根據c=

a2-b2

求出c，即可得出橢圓的離心率

c

a

，
（2）由橢圓的性質，可得橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點坐標，設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則可得c=4，又由雙曲線的離心率可得a的值，進而可得b，將a、b的值代入雙曲線方程可得答案．

解答：解：（1）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的a₁=5，b₁=3，
∴c=

a2-b2

=4，
得出橢圓的離心率e=

4

5

．
（2）∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點坐標為（-4，0）和（4，0），
則可設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵c=4，又雙曲線的離心率等于2，即

c

a

=2，
∴a=2．
∴b²=c²-a²=12；
故所求雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程以及橢圓的簡單幾何性質，注意區分并記憶橢圓、雙曲線的幾何性質及標準方程的形式．