Question

（2013•臨沂一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數關系，直線l：x-y+

2

=0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=4，證明：直線AB過定點（-

1

2

，-1）．

Answer 1

分析：（I）由等軸雙曲線的離心率為

2

，可得橢圓的離心率e=

1

2

=

c

a

．因為直線l：x-y+

2

=0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，利用點到直線的距離公式和直線與圓相切的性質可得

2

2

=b，再利用a²=b²+c²即可得出；
（II）分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，①不存在時比較簡單；②斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及斜率公式，再利用k₁+k₂=4即可證明．

解答：（I）解：∵等軸雙曲線的離心率為

2

，∴橢圓的離心率e=

1

2

=

c

a

，
又∵直線l：x-y+

2

=0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，
∴

2

2

=b，即b=1，
聯立

c a = 1 2 a2=b2+c2 b=1

，解得

a2=2 b=c=1

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）證明：由（I）可知：M（0，1）．
①若直線AB的斜率不存在，設方程為x=x₀，則A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀）．
由已知得

y0-1

x0

+

-y0-1

x0

=4，解得x0=-

1

2

，
此時直線AB的方程為x=-

1

2

，顯然過點(-

1

2

，-1)．
②若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯立

y=kx+m x2+2y2=2

．
化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．（*）
∵k₁+k₂=4，∴

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=4，
∴

kx1+m-1

x1

+

kx2+m-1

x2

=4，化為2k+(m-1)

x1+x2

x1x2

=4．
把（*）代入得k-

km

m+1

=2，∴k=2（m+1），∴m=

k

2

-1．
∴直線AB的方程為y=kx+

k

2

-1，即y=k(x+

1

2

)-1，
∴直線AB過定點(-

1

2

，-1)．

點評：熟練掌握橢圓與原點的標準方程及其性質、直線與圓性質的性質、點到直線的距離公式、直線 與橢圓相交問題轉化為方程聯立化為一元二次方程點到根與系數的關系、直線的斜率計算公式等是解題的關鍵．