Question

已知函數f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，若關于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3個不同的實根x₁，x₂，x₃，則數據x₁，x₂，x₃的標準差為

6

．

Answer 1

分析：如圖所示．分別作出函數f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，和函數y=m，（m∈R）的圖象，由于關于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3個不同的實根x₁，x₂，x₃，可知：只有m=

1

3

，兩個函數的圖象才有3個不同的交點，進而求出即可．

解答：解：如圖所示．分別作出函數f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，和函數y=m，（m∈R）的圖象，
∵關于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3個不同的實根x₁，x₂，x₃，
不妨設x₁＜x₂＜x₃．
∴只有m=

1

3

，兩個函數的圖象才有3個不同的交點，∴x₂=3．
令

1

|x-3|

=

1

3

，解得x=0或6，∴x₁=0，x₃=6．
∴三個實根x₁，x₂，x₃，的平均數為

0+3+6

3

=3．
∴數據x₁，x₂，x₃的方差=

1

3

[(0-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=6．
∴數據x₁，x₂，x₃的標準差為

6

．
故答案為

6

．

點評：本題考查了函數的零點問題轉化為函數圖象的交點、數形結合、圖象變換等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．