Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經過點(-1，)，過點P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程以及點M的坐標；
（3）是否存過點P的直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l₁的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為，
由題意得，解得，
故橢圓C的方程為；
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，
故可設直線l的方程為，
由得，①
因為直線l與橢圓相切，所以，
整理得，解得，
所以直線l的方程為，
將代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為；
（Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件的方程為，
代入橢圓C的方程得，
因為直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為，
所以，
所以，
又，
因為，
即，
所以，
即，
所以，解得，
因為A，B為不同的兩點，所以，
于是存在直線l₁滿足條件，其方程為。