Question

（2012•四川）如圖，動點M到兩定點A（-1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線y=-2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求

|PR|

|PQ|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出點M（x，y），分類討論，根據∠MBA=2∠MAB，利用正切函數公式，建立方程化簡即可得到點M的軌跡方程；
（Ⅱ）直線y=-2x+m與3x²-y²-3=0（x＞1）聯立，消元可得x²-4mx+m²+3=0①，利用①有兩根且均在（1，+∞）內
可知，m＞1，m≠2設Q，R的坐標，求出x_R，x_Q，利用

|PR|

|PQ|

=

xR

xQ

，即可確定

|PR|

|PQ|

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設M的坐標為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0
當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，±3）
當∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=

2tan∠MAB

1-tan2∠MAB

，
化簡可得3x²-y²-3=0
而點（2，±3）在曲線3x²-y²-3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x²-y²-3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直線y=-2x+m與3x²-y²-3=0（x＞1）聯立，消元可得x²-4mx+m²+3=0①
∴①有兩根且均在（1，+∞）內
設f（x）=x²-4mx+m²+3，∴

- -4m 2 ＞1 f(1)=1-4m+m2+3＞0 △=16m2-4(m2+3)＞0

，∴m＞1，m≠2
設Q，R的坐標分別為（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，∴x_R=2m+

3(m2-1)

，x_Q=2m-

3(m2-1)

，
∴

|PR|

|PQ|

=

xR

xQ

=

2m+ 3(m2-1)

2m- 3(m2-1)

=-1+

4m

2m- 3(m2-1)

∵m＞1，且m≠2
∴2＜

4m

2m- 3(m2-1)

＜8+4

3

，且

4m

2m- 3(m2-1)

≠8
∴1＜-1+

4m

2m- 3(m2-1)

＜7+4

3

，且-1+

4m

2m- 3(m2-1)

≠7
∴

|PR|

|PQ|

的取值范圍是（1，7）∪（7，7+4

3

）

點評：本題以角的關系為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運算能力，考查思維的嚴謹性，解題的關鍵是確定參數的范圍．