Question

已知的圖象過點，且函數的圖象關于軸對稱；

(1)求的值及函數的單調區間；

(2)求函數極值.

 

Answer 1

【答案】

(1) a=－3,b="0." (2) f(x)（－∞，0），（2，＋∞）上是增加的；f(x)在（0，2）上是減少的.

【解析】

試題分析：（1）由函數f(x)圖象過點（－1，－6），得,①

由，得=3x²＋2ax＋b,  （2分）

則=3x²+(2a+6)x+b;

而g(x)圖象關于y軸對稱，所以－＝0，所以a=－3,  （3分）

代入①得b=0.  于是f′(x)＝3x²－6x=3x(x－2). （5分）

由f′(x)>0得x>2或x<0,

故f(x)（－∞，0），（2，＋∞）上是增加的；（7分）

由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)在（0，2）上是減少的. （7分）

(2)由（1）得f′(x)＝3x(x－2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： （正確列出下表得3分）

x	(－∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

由此可得：有極大值f(0)=-2,有極小值f(2)＝－6，（12分）

考點：函數的奇偶性；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值。

點評：極值點的導數為0，但導數為0的點不一定是極值點。在大題中，我們一定要注意求函數極值的步驟。屬于典型題型。