Question

（2013•蚌埠二模）已知△ABC中，點A、B的坐標分別為(-

2

，0)，B(

2

，0)，點C在x軸上方．
（1）若點C坐標為(

2

，1)，求以A、B為焦點且經過點C的橢圓的方程；
（2）過點P（m，0）作傾角為

3

4

π的直線l交（1）中曲線于M、N兩點，若點Q（1，0）恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），確定橢圓的幾何量，即可求出以A、B為焦點且經過點C的橢圓的方程；
（2）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及Q恰在以MN為直徑的圓上，即可求實數m的值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=

2

，
∵C(

2

，1)，A(-

2

，0)，B(

2

，0)，
∴2a=|AC|+|BC|=4，b=

a2-c2

=

2

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1（5分）
（2）直線l的方程為y=-（x-m），令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=-（x-m）代入橢圓方程

x2

4

+

y2

2

=1，消去y可得6x²-8mx+4m²-8=0
∴

x1+x2= 4m 3 x1x2= 2m2-4 3

，
若Q恰在以MN為直徑的圓上，則

y1

x1-1

×

y2

x2-1

=-1，
即m²+1-（m+1）（x₁+x₂）+2x₁x₂=0，
∴3m²-4m-5=0
解得m=

2± 19

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是直線與橢圓方程的聯立，利用韋達定理解題．