Question

在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1．
（1）求異面直線B₁C₁與AC所成的角的大小；
（2）若A₁C與平面ABCS所成角為45°，求三棱錐A₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）將B₁C₁平移到BC，根據異面直線所成角的定義可知∠ACB為異面直線B₁C₁與AC所成角（或它的補角），在Rt△ACB中求出此角即可；
（2）根據AA₁⊥平面ABC，則AA₁就是幾何體的高，再求出底面積，最后根據三棱錐A₁-ABC的體積公式V=

1

3

S_△ABC×AA₁求解．

解答：解：（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠ACB為異面直線B₁C₁與AC所成角（或它的補角）
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴∠ACB=45°，
∴異面直線B₁C₁與AC所成角為45°．
（2）∵AA₁⊥平面ABC，
∠ACA₁是A₁C與平面ABC所成的角，∠ACA=45°．
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=

2

，
∴AA₁=

2

．
∴三棱錐A₁-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC×AA₁=

2

6

．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，以及空間幾何體的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．