Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，若函數存在零點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）函數存在零點問題，要研究函數的變化趨勢，從函數解析式可看出時， ，因此函數必有負值，求出其導數，可對

其中的求導后確定其單調性及零點，從而確定的正負得的極小值，由極小值小于0可得結論；

（Ⅱ）恒成立，即的最小值，由導數的性質可得有最小值，只是最小值點不能直接確定，可設為，由得，這樣最小值中參數可用替換為，由得， ，右邊作為一個函數可由導數求得其最大值，即得的最小值．

試題解析：

（Ⅰ）由題意，得.

所以

.

設，由于在上單調遞增，且，

當時， ，所以在(0,1)上單調遞減；

當時， ，所以在上單調遞增.

當時， .

因為函數存在零點，且時， ，

所以，解得，即實數的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，得

因為，令，得.

設，由于在上單遞增，

當時， ；當時， ，

所以存在唯一，使得，即 .

當時， ，所以在上單調遞減；

當時， ，所以在上單調遞增.

當時，

.

因為恒成立，

所以，即 .

.

設，

則

當時， ，所以在上單調遞減；

當時， ，所以在上單調遞增.

當時， .

所以當，即時，

.