Question

【題目】已知函數， （為自然對數的底數）．

（Ⅰ）討論函數的極值點的個數；

（Ⅱ）若函數的圖象與函數的圖象有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析:(1)對函數 進行求導,根據基本不等式得出 的范圍,按照 的最小值是否在定義域內分兩類討論,: ①當， 在上單調遞增，所以沒有極值點；②當，轉化為方程正數解的個數;(2) 函數的圖象與函數的圖象有兩個不同的交點，轉化為由兩個不同的根，通過參變分離,構造新的函數,求導判斷單調性與最值,求出參數的范圍.

試題解析:（Ⅰ），

∵，∴，

①當，即時， 對恒成立， 在上單調遞增，所以沒有極值點；

②當，即時，方程有兩個不等正數解， ，

，

不妨設，則當時， ， 為增函數；當時， ， 為減函數； 時， ， 為增函數，所以， 分別為極大值點和極小值點，即有兩個極值點．

綜上所述，當時， 沒有極值點；當時， 有兩個極值點．

（Ⅱ）令，得，即，

∵，∴，

令（），

，

∵，∴時， ， 為減函數；

時， ， 為增函數，∴，

當時， ，當時， ，

∵函數圖象與函數圖象有兩個不同交點，∴實數的取值范圍為．