Question

【題目】如圖所示，已知四邊形是菱形，平面平面，，.

（1）求證：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由面面垂直的性質定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；

（2）設與交于點O，連接，可證平面.以O為坐標原點，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，即求二面角的余弦值.

（1）證明：菱形中，，

又平面平面，平面平面，

平面.又平面，

平面平面.

（2）設與交于點O，連接，因為，且，

四邊形是平行四邊形，.

，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面.

以O為坐標原點，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示

則，，，，

，.

設平面的法向量為，

則，即，令，則，

.

又平面的法向量為.

設二面角的大小為，則為銳角.

，

二面角的余弦值為.