Question

（幾何證明選講選選做題）如圖，AC是⊙O的直徑，B是⊙O上一點，∠ABC的平分線與⊙O相交于．D已知BC=1，AB=

3

，則AD=

2

；過B、D分別作⊙O的切線，則這兩條切線的夾角θ=

π

6

（或30°）

．

Answer 1

分析：由題意可得∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，由BC=1，AB=

3

可知∠C=60°，∠BAC=30°，由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°，△ABD中，由正弦定理

AB

sin60°

=

AD

sin45°

可求AD
由∠BAD=30°+45°=75°可得∠BOD=2∠BAD=150°，由∠OBP=∠ODP=90°及點ODPB共圓可求∠P

解答：解：∵AC是⊙O的直徑，B是⊙O上一點
∴∠ABC=90°
∵∠ABC的平分線與⊙O相交于D，BC=1，AB=

3

∴∠C=60°，∠BAC=30°，∠ABD=∠CBD=45°
由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°
△ABD中，由正弦定理可得

AB

sin60°

=

AD

sin45°

即AD=

3

sin60°

×sin45°=

2

∵∠BAD=30°+45°=75°
∴∠BOD=2∠BAD=150°
設所作的兩切線交于點P，連接OB，OD，則可得OB⊥PB，OD⊥PD
即∠OBP=∠ODP=90°
∴點ODPB共圓
∴∠P+∠BOD=180°
∴∠P=30°
故答案為：

2

，30°

點評：本題主要考查了圓周角定理的應用，三角形的正弦定理的應用，及圓內接四邊形性質的應用，屬于圓的知識的綜合應用．