Question

從數列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數列,,,…,…，稱之為數列{a_n}的一個子數列.設數列{a_n}是一個公差不為零的等差數列，且a₃=6,取n₁=1,n₂=3.

(Ⅰ)若a₁=4，求正整數m，使，,a_m成等比數列；

(Ⅱ)若a₁=4，那么{a_n}是否存在無窮等比子數列{}?請說明理由；

(Ⅲ)若{a_n}存在等比子數列,,，求整數a₁的值.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知：a_n1=a₁=4,=a₃=6,

∴36=4·a_m  ∴a_m=9,

    又在等差數列{a_n}中：a₁=4,a₃=6,∴d=1,

∴通項a_n=4+(n-1)·1=n+3,

∴a_m=m+3=9,∴m=6.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知等差數列{a_n}的通項公式為a_n=n+3,

∴=n_k+3.

    假設存在無窮等比數列{},則在{}中：=a₁=4,=a₃=6,∴公比q=，

    又是等比子數列{}中的等k項，

∴=·q^k-1=4·()^k-1,

    因此：n_k+3=4·()^k-1，即n_k=4·()^k-1-3,

    當k=4時，n_k=4·-3=-3∈N^*.

∴當a₁=4時不存在無窮等比子數列{}.

(Ⅲ)由題意知：=·

    即=a₁

∴36=a₁

    又在{a_n}中,=a₃+(n₃-3)d

=6+(n₃-3)，代入上式得

36=a₁·［6+(n₃-3)］,∴(n₃-3)=.

    若a₁=6，則{a_n}的公差d==0矛盾.

∴a₁≠6.

∴n₃-3=,∴n₃=+3,

    又n₃∈N^*，∴a₁應為12的因數且a₁≠6,

∴所求a₁的值為：1,2,3,4,12.