Question

【題目】若無窮數列滿足：，且對任意正整數，都為中等于的項的個數，則稱數列為“數列”.

（1）請列舉出三個數列，每個數列只寫出其前5項；

（2）若數列為一個數列，證明：，都有；

（3）若數列為一個數列，求集合中元素個數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）證明見解析；（3）1010.

【解析】

（1）根據X數列的定義進行求解即可

（2）根據數列{an}為一個X數列，討論n是奇數和偶數，分別進行證明即可

（3）根據數列{an}為一個X數列，結合不等式以及集合元素的關系進行求解即可

（1）；； .

（2）由題意可知在中，值為的相鄰項至多相鄰兩項，且至多出現一次.

①當為奇數時，這組數中，至多有1組數均為,

所以此時.

②當為偶數時，若，已知，所以顯然成立 ，

若，當，則依次為；當，則依次為

所以中必有兩項為1，且相鄰，

所以這組數中，

若，則這組數中，每組至多有一項等于，

又中有兩項等于，所以此時，

若，則這組數中，至多有一組全等于，

又中至多有一項等于，此時，

綜上，，都有.

（3）由（2）可知，，，

又由題意可知，所以，且，，

所以，

所以集合中元素個數不大于10101 ，

易知當時，數列的前2018項為.

此時中元素個數等于1010，

所以若數列為一個數列，則集合中元素個數最大值為1010.