Question

【題目】已知函數，（其中是常數）.

（Ⅰ）求過點與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）是否存在的實數，使得只有唯一的正數，當時不等式恒成立，若這樣的實數存在，試求，的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在實數，只有唯一值，

【解析】

（Ⅰ）先求導數，根據導數幾何意義用切點坐標表示切線斜率，再根據點斜式得切線方程，最后根據切線過點求切點坐標，即得結果,

（Ⅱ）先化簡不等式，構造函數，利用導數研究新函數單調性，確定最小值取法，再根據最小值不大于零，結合解得唯一性確定，的值.

解：（Ⅰ）設過點的直線與曲線相切于點，

因，則，

所以在處切線斜率為，

則在處切線方程為，

將代入切線方程，得，

所以，

所以切線方程為；

（Ⅱ）假設存在的正實數，使得只有唯一的正數，當時不等式恒成立，即恒成立，

因為，所以，即，

令

則，由于，即，

（1°）當即時，

時，，則在上為增函數，

時，，則在上為減函數，

則，

即，令，

則，由，得，

時，，則在區間上為減函數，

時，，則在區間上為增函數，

因此存在唯一的正數，使得，故只能.

所以，

所以，此時只有唯一值.

（2°）當即時，，所以在上為增函數，

所以，即，故.

所以滿足的不唯一，

綜上，存在實數，只有唯一值，當時，恒有原式成立.