Question

【題目】已知不等式|x+1|＞|2﹣x|+1的解集為M，且a，b，c∈M．

（1）比較|a﹣b|與|1﹣ab|的大小，并說明理由；

（2）若，求a2+b2+c2的最小值．

Answer 1

【答案】（1）|a﹣b|＜|1﹣ab|，詳見解析（2）9

【解析】

（1）化簡得到，計算得到，計算

得到證明。

（2）利用均值不等式得到，再利用均值不等式得到答案。

（1）設f（x）＝|x+1|﹣|2﹣x|，

由f（x）＞1，得M＝{x|x＞1}，

∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＝a2b2﹣a2﹣b2+1

＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，（a＞1，b＞1），

∴|a﹣b|＜|1﹣ab|；

（2）由已知a＞1，b＞1，c＞1，而3，

結合已知得3，故a2+b2+c2≥39，

故a2+b2+c2的最小值是9（當且僅當a＝b＝c時取得）．