Question

如圖所示，在邊長為12的正方形ADD₁A₁中，點B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁D₁、AD₁于點B₁、P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁D₁、AD₁于點C₁、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得DD₁與AA₁重合，構成如圖所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）求證：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求四棱錐A-BCQP的體積；
（3）求二面角A-PQ-C的大小．

Answer 1

分析：（1）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．在這個“折疊問題”中，要把握好不變的長度關系、線線關系、線面關系，即可得證；
（2）AB為四棱錐A-BCQP的高，并且四邊形BCQP為直角梯形，由此可求四棱錐A-BCQP的體積；
（3）建立空間直角坐標系B-xyz，確定平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

解答：（1）證明：在正方形ADD₁A₁中，因為CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．
因為AB=3，BC=4，所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC．
因為四邊形ADD₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：因為AB⊥平面BCC₁B₁，所以AB為四棱錐A-BCQP的高．
因為四邊形BCQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面積為S_BCQP=

1

2

（BP+CQ）×BC=20．
所以四棱錐A-BCQP的體積V_A-BCQP=

1

3

S_BCQP×AB=20．
（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz，

則A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
所以

AP

=（0，3，-3），

AQ

=（4，7，-3），
設平面PQA的一個法向量為

n1

=（x，y，z）．
則

n1

•

AP

=0，

n1

•

AQ

=0，即

3y-3z=0 4x+7y-3z=0

．
令x=-1，則y=z=1，所以

n1

=（-1，1，1）．
∵平面BCQ的一個法向量為

n2

=（0，0，1）．
設平面PQA與平面BCQ所成銳二面角為θ，則cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

3

．
∴平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值為

3

3

∴二面角A-PQ-C的大小為arccos

3

3

．

點評：本題主要考查空間線面關系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力