Question

過(guò)拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交拋物線于P₁、P₂兩點(diǎn)，求證：以P₁P₂為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切.

Answer 1

證明:設(shè)P₁P₂的中點(diǎn)為P₀,過(guò)P₁、P₂、P₀分別向準(zhǔn)線l引垂線,垂足分別為Q₁、Q₂、Q₀,根據(jù)拋物線的定義,得|P₁F|=|P₁Q₁|,|P₂F|=|P₂Q₂|.

∴|P₁P₂|=|P₁F|+|P₂F|=|P₁Q₁|+|P₂Q₂|.

∵P₁Q₁∥P₀Q₀∥P₂Q₂,|P₁P₀|=|P₀P₂|,

∴|P₀Q₀|=(|P₁Q₁|+|P₂Q₂|)

=|P₁P₂|.

由此可知,P₀Q₀是以P₁P₂為直徑的圓P₀的半徑,且P₀Q₀⊥l,因此,圓P₀與準(zhǔn)線相切.