Question

【題目】閱讀下列有關光線的入射與反射的兩個事實現象：現象（1）：光線經平面鏡反射滿足入射角與反射角相等（如圖）；現象（2）；光線從橢圓的一個焦點出發經橢圓反射后通過另一個焦點（如圖）．試結合，上述事實現象完成下列問題：

（Ⅰ）有一橢圓型臺球桌，長軸長為2a，短軸長為2b．將一放置于焦點處的桌球擊出．經過球桌邊緣的反射（假設球的反射充全符合現象（2）），后第一次返回到該焦點時所經過的路程記為S，求S的值（用a，b表示）；

（Ⅱ）結論：橢圓上任點P（x0，y0）處的切線的方程為．記橢圓C的方程為C：，在直線x＝4上任一點M向橢圓C引切線，切點分別為A，B．求證：直線lAB恒過定點：

（Ⅲ）過點T（1，0）的直線l（直線l斜率不為0）與橢圓C：交于P、Q兩點，是否存在定點S（s，0），使得直線SP與SQ斜率之積為定值，若存在求出S坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）S＝2（a），S＝2（a），S＝4a；（Ⅱ）證明見解析　（Ⅲ）存在，定點S（±3，0）

【解析】

（Ⅰ）根據題意分桌球第一次與球桌的邊緣的接觸點為長軸的兩個端點或這兩個端點外的任一點三種情況進行討論即可.

（Ⅱ）設M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,再根據橢圓在點P（x0,y0）處的切線的方程為即可求得兩條切線方程的表達式,再根據M（4,t）在兩條切線上即可求得lAB

的直線方程.

（Ⅲ）設l的方程為：x＝my+1,再聯立直線與橢圓的方程,求得直線SP與SQ斜率之積的表達式,再根據表達式求S（s,0）即可.

（Ⅰ）記c,因為桌球第一次與球桌的邊緣的接觸點可能是長軸的兩個端點及這兩個端點外的任一點三種情況,

所以,S＝2（a﹣c）或S＝2（a+c）或S＝4a；

即S＝2（a）,S＝2（a）,S＝4a；

（Ⅱ）設M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,則直線lMA：1,lMB：1,代入M中,得lMA：ty1＝1,lMB：2＝1,

則點A,B的坐標滿足方程：ty﹣1＝0,

恒過定點G（,0）；

（Ⅲ）由已知直線過點T（1,0）,設l的方程為：x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,聯立與橢圓的方程整理得：（9+m2）y2+2my﹣8＝0,∴y+y',yy',

kSP,同理得kSQ,∴kSPkSQ,當s＝3時,kSPkSQ,

當s＝﹣3時,kSPkSQ,所以存在定點S（±3,0）,使得直線SP與SQ斜率之積為定值．